符号同步#
通信过程中，在接收机中，信号经过 AD 采样后，经过处理后，最后需要通过抽样器抽样判决还原出原始的信号，抽样器工作的时钟被称为符号时钟，接收器提取符号时钟的方法称为符号同步或者定时恢复。
同步的性能受环路滤波器的影响非常大，且理论分析非常困难
采用高阶调制时，锁相环的设计非常困难
锁相环会存在盲区失锁
符号同步实现框图#
插值滤波器#
插值滤波器是符号同步的心脏部分，整个符号同步都是依据插值滤波原理设计的
插值滤波器原理#
Copy y ( t ) = ∑ m x ( m T s ) h ( t − m T s ) \begin{aligned}y(t)=\sum_{m}x(mT_{s})h(t-mT_{s})\end{aligned} y ( t ) = m ∑ x ( m T s ) h ( t − m T s ) 在 $t=kT_i$ 时刻重采样后内插输出信号为：
Copy y ( k T i ) = ∑ m x ( m T s ) h ( t − m T s ) \begin{aligned}y(kT_i)=\sum_{m}x(mT_{s})h(t-mT_{s})\end{aligned} y ( k T i ) = m ∑ x ( m T s ) h ( t − m T s ) 再经过一系列的计算得：
Copy Y ( k T i ) = y [ ( m k + μ k ) T s ] = ∑ i = N 1 N 2 x [ ( m k − i ) T s ] h [ ( i + μ k ) T s ] Y (kT_i)=y[(m_k+\mu_k) T_s]=\sum_{i=N_1}^{N_2}x[(m_k-i) T_s]h[(i+\mu_k) T_s] Y ( k T i ) = y [( m k + μ k ) T s ] = i = N 1 ∑ N 2 x [( m k − i ) T s ] h [( i + μ k ) T s ] 上式即为数字内插器的基本方程
工程应用#
常用的插值滤波器有简单的线性内插器和分段抛物线内插器以及拉格朗日内插器。线性内插器有两个样值点参加运算，分段和拉格朗日有多个样值点参与运算。冲激响应函数分别如下：
Copy h ( t ) = { 1 + t / T s , − T s ≤ t ≤ 0 1 − t / T s , 0 s ≤ t ≤ T s 0 , o t h e r s h\:(t)=\begin{cases}1+t\:/\:T_s\:,&\quad-T_s\leq t\leq0\\1-t\:/\:T_s\:,&\quad0_s\leq t\leq T_s\\0,&\quad others\end{cases} h ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 + t / T s , 1 − t / T s , 0 , − T s ≤ t ≤ 0 0 s ≤ t ≤ T s o t h ers 分段抛物线插值滤波器：
Copy h ( t ) = { ρ ( t / T s ) 2 + 3 β ( t / T s ) + 2 β , − 2 T s ≤ t ≤ − T s − β ( t / T s ) 2 − ( β − 1 ) ( t / T s ) + 1 , − T s ≤ t ≤ 0 − β ( t / T s ) 2 + ( β − 1 ) ( t / T s ) + 1 , 0 ≤ t ≤ T s β ( t / T s ) 2 − 3 β ( t / T s ) + 2 β , T s ≤ t ≤ 2 T s 0 , o t h e r s h(t)=\begin{cases}\rho(t/T_s)^2+3\beta(t/T_s)+2\beta\:,&\quad-2T_s\leq t\leq-T_s\\-\beta(t/T_s)^2-(\beta-1)(t/T_s)+1,&\quad-T_s\leq t\leq0\\-\beta(t/T_s)^2+(\beta-1)(t/T_s)+1,&\quad0\leq t\leq T_s\\\beta(t/T_s)^2-3\beta(t/T_s)+2\beta,&\quad T_s\leq t\leq2T_s\\0,&\quad others\\\end{cases} h ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ ρ ( t / T s ) 2 + 3 β ( t / T s ) + 2 β , − β ( t / T s ) 2 − ( β − 1 ) ( t / T s ) + 1 , − β ( t / T s ) 2 + ( β − 1 ) ( t / T s ) + 1 , β ( t / T s ) 2 − 3 β ( t / T s ) + 2 β , 0 , − 2 T s ≤ t ≤ − T s − T s ≤ t ≤ 0 0 ≤ t ≤ T s T s ≤ t ≤ 2 T s o t h ers 立方插值滤波器：
Copy h ( t ) = { 1 6 ( t / T z ) 2 + ( t / T z ) 2 + 11 6 ( t / T z ) + 1 , − 2 T z ≤ t ≤ − T z − 1 2 ( t / T z ) 3 − ( t / T z ) 2 + 1 2 ( t / T s ) + 1 , − T z ≤ t ≤ 0 1 2 ( t / T z ) 3 − ( t / T z ) 2 − 1 2 ( t / T s ) + 1 , 0 ≤ t ≤ T z − 1 6 ( t / T z ) 3 + ( t / T z ) 2 − 11 6 ( t / T s ) + 1 , T z ≤ t ≤ 2 T s 0 , o t h e r s h(t)=\begin{cases}\frac16(t/T_z)^2+(t/T_z)^2+\frac{11}{6}(t/T_z)+1,&\quad-2T_z\leq t\leq-T_z\\-\frac12(t/T_z)^3-(t/T_z)^2+\frac12(t/T_s)+1,&\quad-T_z\leq t\leq0\\\frac12(t/T_z)^3-(t/T_z)^2-\frac12(t/T_s)+1,&\quad0\leq t\leq T_z\\-\frac16(t/T_z)^3+(t/T_z)^2-\frac{11}6(t/T_s)+1,&\quad T_z\leq t\leq2T_s\\0,&\quad others\\\end{cases} h ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ 6 1 ( t / T z ) 2 + ( t / T z ) 2 + 6 11 ( t / T z ) + 1 , − 2 1 ( t / T z ) 3 − ( t / T z ) 2 + 2 1 ( t / T s ) + 1 , 2 1 ( t / T z ) 3 − ( t / T z ) 2 − 2 1 ( t / T s ) + 1 , − 6 1 ( t / T z ) 3 + ( t / T z ) 2 − 6 11 ( t / T s ) + 1 , 0 , − 2 T z ≤ t ≤ − T z − T z ≤ t ≤ 0 0 ≤ t ≤ T z T z ≤ t ≤ 2 T s o t h ers 三种滤波器的冲激响应都关于零点对称，满足插值滤波器要求；且在样点时刻不为 0，其他整数时刻为 0，满足奈奎斯特无失真抽样定理
基于多项式的插值滤波器#
上述三种的缺点是参数恒定，无法根据不同的系统要求做出改变。该滤波器使用 Farrow 结构实现
Copy f n ( t ) = { ( 2 t / T s − 1 ) n , 0 ≤ t ≤ T s 0 , o t h e r s f_n (t)=\begin{cases}(2 t/T_s-1)^n,&\quad 0\leq t\leq T_s\\0,&\quad others\end{cases} f n ( t ) = { ( 2 t / T s − 1 ) n , 0 , 0 ≤ t ≤ T s o t h ers n 为多项式阶数，t 为内插点整数间隔
Copy h(t)& =\sum_{i=0}^{\frac N2-1}\sum_{n=0}^{L}c_n(i)f_n(t-iT_s) \\
&=\sum_{i=0}^{\frac N2-1}\sum_{n=0}^{L}c_n(i)g_n(t-iT_s)
\end{aligned}$$
其中的
$$\begin{aligned}g_n(t-iT_s)&=\int_n(t-iT_s)+(-1)^nf_n(t+(i+1)T_s)\\&=\begin{cases}(\frac{2(t-iT_s)}{T_s}-1)^n&iT_s\leq t\leq(i+1)T_s\\\\(-1)n(\frac{2(t+(i+1)T_s)}{T_s}-1)^n&-(i+1)T_s\leq t\leq-iT_s\\\\0&\text{其他}&\end{cases}\\\end{aligned}$$
### 定时误差估计
Gardner 算法是一种适用于 BPSK/QPSK 的每符号采样两点的算法，具有所需采样点少，易于高速实现，且具有检测性能不受载波相位恢复影响等优点
对于 BPSK 信号，Gardner 算法表示为：
$$ \begin{aligned}
U (n)& =x (\tau+(n-1/2) T)[x (\tau+nT)-x (\tau+(n-1) T)] \\
&=x (n-1/2)[x (n)-x (n-1)]
\end{aligned}
对于 QPSK 信号，Gardner 算法表示为：u ( n ) = x I ( n − 1 / 2 ) [ x I ( n ) − x I ( n − 1 ) ] + x Q ( n − 1 / 2 ) [ x Q ( n ) − x Q ( n − 1 ) ] u(n)=x_I(n-1/2)[x_I(n)-x_I(n-1)]+x_Q(n-1/2)[x_Q(n)-x_Q(n-1)] u ( n ) = x I ( n − 1/2 ) [ x I ( n ) − x I ( n − 1 )] + x Q ( n − 1/2 ) [ x Q ( n ) − x Q ( n − 1 )]
环路滤波器#
工程中，环路滤波器一般使用一阶积分滤波或者卡尔曼滤波y ( n ) = y ( n − 1 ) + c 1 [ x ( n ) − x ( n − 1 ) ] + c 2 x ( n ) y(n)=y(n-1)+c_1[x(n)-x(n-1)]+c_2x(n) y ( n ) = y ( n − 1 ) + c 1 [ x ( n ) − x ( n − 1 )] + c 2 x ( n )
插值控制器#
插值控制器的作用是控制插值运算，接收定时误差信号，运算后给内插滤波器提供内插运算所需要的控制量参数 $m_k 和 \mu_k$
Copy η ( m + 1 ) = [ η ( m ) − W ( m ) ] m o d 1 \eta(m+1)=[\eta(m)-W(m)]\mathrm{mod}1 η ( m + 1 ) = [ η ( m ) − W ( m )] mod 1 其中 $\eta (m)$ 为第 m 个工作时钟的 NCO 寄存器内容，$W (m)$ 为 NCO 控制字，即相位递减的步长，由环路滤波器调节，使内插器输出最佳采样点，近似为 $W (m)=\frac {T_s}{T_i}$。
Copy μ k = ξ 0 η ( m k ) ，其中 ξ 0 = 1 W ( m ) \mu_k=\xi_0\eta(m_k)，其中\xi_0=\frac{1}{W(m)} μ k = ξ 0 η ( m k ) ，其中 ξ 0 = W ( m ) 1